Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für by Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane

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By Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane Tammer Page, search results, Learn about Author Central, Christiane Tammer,

In diesem Lehrbuch werden die f?r die Wirtschaftsmathematik, insbesondere f?r die Optimierungstheorie, Stochastik und Numerik, erforderlichen Grundlagen der Funktionalanalysis in einer anschaulichen shape mit Bez?gen zu den entsprechenden Anwendungen in jedem Kapitel dargestellt. Dabei wird eine Untergliederung entsprechend der f?r die Wirtschaftsmathematik relevanten Haupts?tze der Funktionalanalysis, wie Baire's Kategoriesatz, Approximations- und Projektionssatz, Hahn-Banach-Theorem, Fixpunktaussagen und KKM-Theorem und Variationsprinzipien, vorgenommen.

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B. im Raum LR normierten Legendre’schen Polynome Pn (x) = 2n + 1 1 dn 2 (x − 1)n 2 2n n! 25) 2 für p(x) = e−x die normierten Hermite’schen Funktionen und im LR 2 ψn (x) = n −x x2 d (e (−1)n e2 √ dxn 2n n! 26) als ONS. Zu den Hermite’schen Funktionen vgl. 6. h. h. eine abzählbar unendliche überall dichte Teilmenge besitzt. 5 Es seien X ein Prä-Hilbert-Raum und E eine Teilmenge von X. Die Menge aller Elemente x ∈ X, die auf allen Vektoren aus E senkrecht stehen, bezeichnet man mit X E oder mit E ⊥ , sie heißt das orthogonale Komplement von E bezüglich X (bzw.

Die Folge {xk∗ } konvergiert schwach* gegen x , denn es ist für x ∈ X und geeignetes y∈Y |(xk∗ − x )(x)| ≤ |(xk∗ − x )(x − y)| + |(xk∗ − x )(y)| ≤ x − y · ( xk∗ ∗+ x ∗ ∗ ) + |(xk − x )(y)| ≤ 2 x − y + |(xk∗ − x )(y)|. Der zweite Summand geht gegen null für k → +∞ für jedes y und der erste Summand ist wegen X = Y beliebig klein möglich. h. kompakt bezüglich der schwach* Topologie). 17 Es seien X ein reeller separabler Banach-Raum und M eine abgeschlossene Kugel im Dualraum X∗ . Ist das Funktional f : M → R schwach* folgen-unterhalbstetig, so hat das Optimierungsproblem f (x∗ ) → infx∗ ∈M eine Lösung.

Y∈K Der Vektor x − x1 = x2 gehört zum orthogonalen Komplement X K = K ⊥ . Der Projektionsoperator PK hat folgende Eigenschaften: PK ist linear, symmetrisch, hat (falls K = {0}) die Norm 1 (ist also ein stetiger Operator), ist itempotent und nicht expansiv. 2 Orthonormalreihen 21 Beweis: Es sind nur noch die Orthogonalzerlegung und die Eigenschaften von PK zu zeigen. 33) also ist x − PK (x) = x − x1 ∈ K ⊥ . Nichtexpansitivität: Hier reicht es, K abgeschlossen und konvex vorauszusetzen. 34) und dies gilt auch nach Vertauschung von x mit x .

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