Algebraische Geometrie by Claus Scheiderer

Number Theory

By Claus Scheiderer

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Eine wichtige Klasse von Beispielen ist folgende: Auf jedem topologischen Raum X hat man die Garbe CX der stetigen R-wertigen Funktionen, definiert durch CX (U ) = C(U, R) (U ⊂ X offen), mit den nat¨ urlichen Restriktionsabbildungen. Dies ist eine Garbe von Ringen. Man kann auch die Garbe der stetigen komplexen Funktionen betrachten. Ist X eine differenzierbare oder analytische Mannigfaltigkeit, so hat man entsprechend die Garbe der differenzierbaren oder analytischen Funktionen, usw. 4. Eine Garbe B auf X heißt Untergarbe von A, wenn B(U ) ⊂ A(U ) f¨ ur alle offenen U ⊂ X gilt, und wenn die Restriktionsabbildungen von B durch jene von A induziert sind, d.

R) erzeugte lineare Teilraum von Sd ganz Sd ist. Schreibt man diese Bedingung relativ zu einer Vektorraumbasis von Sd (etwa der aus allen Monomen vom Grad d bestehenden Basis), so sieht man: b ∈ / Yd genau dann, wenn eine gewisse Matrix, deren Koeffizienten Polynome in b = (b1 , . . , bn ) sind, einen Rang ≥ dim(Sd ) = n+d hat. Genau dann also ist n n+d b ∈ Yd , wenn dieser Rang < n ist, also genau dann, wenn alle n+d n -Minoren der Matrix verschwinden. Dies ist eine abgeschlossene Bedingung an b.

Gs (f¨ ur 1 ≤ i < j ≤ s). Sind alle hij = 0, so ist g1 , . . , gs eine Gr¨ obnerbasis. Ist erstmals hij = 0 f¨ ur ein Paar i < j, so f¨ uge hij zu g1 , . . , gs dazu und starte erneut mit der vergr¨ oßerten Folge. Beweis. 5 m¨ ussen wir nur beweisen, daß der Algorithmus terminiert. Ist hij = 0, so ist die Inklusion LM (g1 ), . . , LM (gs ) LM (g1 ), . . , LM (gs ), LM (hij ) der monomialen Ideale strikt. 4. 10), muß der Algorithmus also abbrechen. 7. Bemerkungen. 1. Die oben skizzierte Form des Algorithmus ist nat¨ urlich noch sehr grob, und diente vor allem dazu, seine Grundstruktur vorzustellen.

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